universelle Algebra

universẹlle Ạlgebra,

 

ab 1940 begründete algebraische Disziplin, in der allgemeine Eigenschaften algebraischer Strukturen insbesondere mithilfe der Kategorientheorie untersucht werden, auch Bezeichnung für eine sehr allgemeine Fassung des Begriffs der algebraischen Struktur innerhalb dieser Theorie. Eine und A. ist ein Paar bestehend aus der Trägermenge X und einer Familie n_i-stelliger Operationen

 

auf X, wobei die Indexmenge I auch unendlich viele Elemente besitzen kann und die Familie τ = (n_i) _{i ∈ I} der Stelligkeiten aller Operationen der Typ der und A. heißt. Zahlreiche bekannte algebraische Strukturen wie Halbgruppen, Gruppen, Ringe und Verbände sind und A., und viele analoge Begriffe und Sätze für diese lassen sich leicht auf und A. übertragen. Beispielsweise ist ein Unterraum der und A. ein Paar, wobei U X und für alle i ∈ I und eine Abbildung zwischen und A. heißt Homomorphismus, falls

 

für alle i ∈I. In Analogie zu speziellen algebraischen Strukturen heißt eine und A. frei über der Basis B X, falls zu jeder und A. vom selben Typ mit Trägermenge Y und zu jeder Abbildung g : B → Y ein Homomorphismus h : X → Y existiert, der g fortsetzt. Eine Klasse V von und A. desselben Typs heißt Varietät, falls mit und A. aus V auch alle Unteralgebren, homomorphen Bilder und direkten Produkte zu V gehören. In Varietäten V existieren alle freien und A., sie sind bis auf Isomorphie durch die Kardinalzahl ihrer Basen festgelegt, und eine Klasse von und A. bildet genau dann eine Varietät, wenn sie durch »Gleichungen« definiert werden kann, etwa wie die Klasse der Halbgruppen durch die Gleichung (ab) c = a (bc) in der und A. (X, f : X × X → X ). Die Theorie der und A. hat auch für die einzelnen Strukturen neue Resultate erbracht, dient aber wesentlich zur einheitlichen Darstellung und Bereitstellung allgemeiner Satzgruppen, die auch in anderen Disziplinen wie der mathematischen Logik Anwendung finden.